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抛物线中的直线斜率问题

时间:2019-07-24 来源:《才智》杂志 作者:admin 点击:

  摘要:在有关抛物线的考题中,我们常常有关直线斜率的问题,而且经常涉及多条直线的斜率。解决此类问题最常见的办法就是设坐标表示斜率,但往往计算量较大。本文为大家介绍如何用抛物线点差法来解决此类问题。

  关键词:抛物线、点差法、斜率

  例1 过抛物线 上的一点P(2,4)任作两条相互垂直的弦PA,PB,问直线是否过定点

  法1 半联立

  解:设PA:

  , 当x=10,y=-4时恒成立

  过定点(10,-4)

  分析:本题整体计算量中等,但是 直线表示出来以后,得到定点的计算比较复杂。

  法二:抛物线点差法

  解: 设

  由此可推出,直线与开口向右的抛物线交于两点

  则有

  设 , 又 与 联立

  , 代入 又 所以由待定系数法可得: 恒过点(10,4) 为了加深理解,下面再应用抛物线点差法解决下面问题。

  例2 曲线 ,A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD AE,且AD AE斜率为 ,并满足 ,试推断DE有何变化规律。

  解:此题应用抛物线点差法即可快速求解

  设 设 由于上题已证,此处直接应用结论

  又 ,又 恒过点(-1,-2)

  由以上两道例题,我们可以发现,过抛物线上一定点做两条直线,两直线斜率分别为 ,两直线分别与抛物线交于 两点,若 或者 为定值, 直线必过定点。

  接下来证明一下:

  上有一定点 ,任作两条弦PA,PB,使得 ,则AB过定点

  同理 代入化简

  所以过定点 ,即点 同理,若将 改为 则有AB过定点

  代入化简 所以定点为

  在做小题时,熟练掌握点差法可快速解决问题。有些题目不用点差法也可以求解,而有些题目只能用点差法求解此类题还能体现出点差法的妙处。

  例3 已知抛物线 过点P(2,0)作不垂直于x轴的直线,交抛物线于A ,B两点,F为抛物线焦点,再分别作直线AF, BF与抛物线交于点M,N,设直线AB,MN斜率分别为 ,求证 为定值。

  解:设 同理直接应用结论

  此时应通过联立 、 来求出 的关系,从而实现消元求解

  设 同理 , , 此题较为复杂,若用传统方法联立的思想,需要利用AB直线与抛物线联立,得到 坐标之间的关系,再表示利用 坐标表示出 两点,求出 之间的关系,从而得到 ,最后再进行消元求解。整个过程非常复杂,在考场上时间紧张,几乎不可能完成。然而此类题往往分值较大,失掉非常可惜。可见,熟练掌握抛物线点差法是我们成功处理斜率问题的重要保障。

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