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数形结合思想在高中数学学习中的应用分析

时间:2019-06-25 来源:《才智》杂志 作者:admin 点击:

  摘要:随着时代的发展变化,在当下高中数学的学习过程中,更重视对数学学科概念以及结论等产生的背景进行详细的分析,而数形结合作为数学四大思想方法之一,不仅符合当下对高中数学学习的重要理念,而且也是我们学生提高数学综合能力的基础。为此,在接下来的文章中,将围绕数形结合思想在高中数学学习中的应用展开分析,希望能够给相关人士提供重要的参考价值。

  关键词:数形结合;高中数学

  引言

  数学是一门具有较强逻辑性的学科,也是研究数量关系及空间图像的学科,对于高中生而言,数学知识非常枯燥,在学习的时候,难度比较大。而在实际学习过程中,应用数形结合思想,不仅能激发学生的学习兴趣,同时也利于学生对知识的学习与理解。

  1.数形结合的运用原则

  数学中最古老且最基本的研究对象,就是数和形,两者在一定的条件下可以互相转化。这种转化可正可逆,具有一定的循环性和连续性。数和形之间的这种联系被称之为数形结合。利用数和形这种对应的内在联系,我们学生在学习数形结合法时,又可以被分为两种,即以数解形和以形助数。利用数形结合,可以促使学生在遇到较为困难复杂的问题时,更快的抓住解题重点理清解题思路,从而提高数学学习效率。以几何图形和抽象数量为例,数形结合法可以将抽象复杂问题迅速实际简化,帮助我们更好地理解并掌握其本质。因此,我们可以将数形结合法概述为,利用数形关系以数解形或以形助数的数学学习新方法。

  1.1双向性原则

  双向性原则指的就是对几何图形进行直观分析的同时,还要对其代数抽象性进行分析。代数语言的逻辑性、精确性非常强,可以避免几何直观的约束性,充分突出了数形结合的优势。

  1.2等价性原则

  等价性原则指的就是“数”的代数性质和“形”的几何性质在进行转化的时候,应该是等价的。因为图形局限性,导致在画图的时候,容易出现准确性不好的问题,影响了解题效果。为此,在数形结合应用过程中,一定要重视等价性原则。

  2.数形结合思想在高中数学的应用分析

  一些简单的函数求值问题可利用基本不等式、判别式法等进行求解,有一些难度较大的函数求值问题如果纯粹利用代数方法进行求解,不但无法顺利解决问题,反而会进一步加大难度。但此时如果利用数形结合思想解题,则可将复杂的代数关系转化为图形语言,有效提高解题效率。

  2.1在函数解题中的应用

  已知x、y满足x2 +y2 -4x=0,请问(x+1)2+(y+1)2 的最值是多少?

  分析:可将 x2+y2-4x=0化为(x-2)2+y2=4,那么(x,y) 就是表示圆心为M(2,0),半径为2的圆上任一点(如图1).(x+1)2+(y+1)2 表示为点N(-1,-1) 到圆M上任意一点距离的平方.因为|MN|=√(2+1)2+(0+1)2=√10,

  图一

  所以(x+1)2+(y+1)2 的最大值为(|MN|+2)2=14+4√10,最小值为(|MN|-2)2 =14-4 √10。在函数最值类问题的求解中,容易对两点间距离、导数等相关几何概念的掌握得不太好,限制我们学生数形结合思想的发挥.这就需要我们学生自己多看习题多进行反复练习,以确保数形转换的顺利达成,提高解题效率。

  2.2在方程与不等式解题中的应用

  对于某些方程和不等式,如果纯粹采用代数方法求解很难取得良好解题效果,但利用数形结合思想解题有时会产生意想不到的效果。

  例2当a为何值时,方程2a2x2+2ax+1-a2=0的两个根在(-1,1)之间?分析显然a2>0,我们可根据已知方程式大体画出二次函数y=2a2x2+2ax+1-a2 的图象(如图2),由图可知,要想二次函数图象与横轴相交的两个点在(-1,1)之间,那么就必须满足以下条件:

  f(-1)>0,

  F(-1/2a)≤0,

  f(1)>0

  即

  (a-1)2 >0,

  1/2-a2 ≤0,

  (a+1)2 > 0

  图二

  由此我们就可以推断出a的取值范围是a≥√2或a≤-√2且a≠±1。在方程的求解中,方程根的问题就是函数零点的问题,或者更为直接地将其理解为函数图象与x轴交点的问题。但面对此类问题时,许多高中生只想到运用传统的解方程方法进行解题,这样不仅计算繁杂,而且很容易走入无法解出的死胡同。

  2.3在解析几何解题中的应用

  利用数形结合思想解决解析几何的问题,可大致分为三个步骤:第一步建立平面直角坐标系;第二步将几何条件转化为代数条件;第三步根据代数条件进行运算求解并用几何加以表示。例3点M是椭圆x2/25+y2/16=1上的一点,它到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,O是原点,那么请问|ON|的长度是多少?

  分析:假设椭圆的另一个焦点为F2,那么就会得到|MF1|+|MF2|=2a,其中a=5,由此可得|MF2|=8,因为点N和点O分别是MF1、MF2 的中点,由图3可知ON为MF1F2的中位线,因此可以确定|ON|的长度是4。可见,在涉及距离、斜率、倾斜角等含有解析几何的概念时,我们完全可利用数形结合思想对其进行简化处理,进而全面提高解题准确性。

  图三

  2.4在立体几何解题中的应用

  数形结合思想不仅在平面几何解题中发挥着重要作用,而且在立体几何解题中扮演着不可替代的角色.在进行立体几何解题时,如果只是单凭想象而不通过作图的话是很难完成的。例4已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E、F两点分别是 A'B'、B'C'的中点,求证EF与平面ACD'平行。

  分析:仔细观察图4,由已知条件可知,EF与A'C'平行,又因为AC与A'C'平行,所以可得EF与AC平行,而AC包含于ACD',EF不包含于ACD',由此可得EF与面ACD'平行。

  图四

  高中生的空间想象能力尚处于发展阶段,在进行立体几何解题时更需要我们掌握数形转换的技巧与方法,特别是对于立体几何中垂直、平行问题的处理,如果纯粹地采用代数方法是很难有效解决的。

  结语

  在日常生活中,数学思想随处可见,数形结合思想由古至今都在数学问题上占了很大比重,运用数学思想能够让复杂的教学问题简单化,对于我们高中生来说,面对一些复杂的问题,在老师的引导下,也能够自己朝解题方法方面去想、去解决问题,不会局限于一种解题思路,多运用数学思想,自己的视野也能够更加开阔,思想能够得到深化,课堂效率能够得到很大程度的提高,认识问题与解决问题也更加全面,数学思想的很好运用能够在应试教育下脱颖而出,特别是对于当今的高考来说,数学问题贯穿于试卷的始终。

  参考文献:

  [1]王新锋.运用数形结合思想,深入探究两种高考“热点”图象[J].湖南中学物理,2018,33(12):94-95.

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