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数学分析课程教学的难点及突破

时间:2019-06-21 来源:《才智》杂志 作者:admin 点击:

  【摘要】数学分析课程在高校学生的基础课程中占有很大比重,具有内容多、系统性强、跨度广的特点,尤其对于数学专业的学生而言,这门课程的学习效果直接影响了其后续课程的学习质量。数学分析课程不但要求学生掌握全面而扎实的数学理论,也对学生的逻辑思维能力和独立思考能力提出了较高的要求。基于此,本文列举了数学分析课程教学的难点,并对此提出相应的优化策略和多种具体的教学方法,希望能提高数学分析课程的教学质量。

  【关键词】数学分析课程 教学难点 教学优化 教学方法

  很多学生在学习数学分析时都遇到一些难以解决的问题,从而造成学习效率低下,学习效果不好。作为教师,必须坚持科学教育的基本原则,发现并帮助学生解决在学习时遇到的种种问题,从而增强学生学习数学分析的兴趣,使得学生可以深入理解课程知识并将其灵活运用到后续的数学学习中。学生也应在学习中不断提高自身的数学专业知识素养,学会使用更多的数学工具去解决数学问题,活用数学建模思想,从而为后续数学课程的学习打下良好的基础。

  一、数学分析课程教学的难点

  1.学生基础较差

  学生基础较差是数学分析课程教学质量不高的原因之一。自国家实施教育改革,进行高校扩招以来,越来越多的人有机会接受高等教育,进入更深层次的学习阶段,进入大学的学生基础不一,而所学习的数学内容却是完全一样,这就导致了某些學生在学习数学分析时,学习速度慢,不能很好的吸收新的数学知识。

  2.课程衔接有问题

  课程衔接问题也是数学分析课程教学的一大难点。在高中阶段,学生所学习的数学知识范围虽然较广,涉及几何、函数等各个方面,但总体的难度比较低,根据高考的大纲要求,学生对于知识点的学习不需要非常深入就可以解出题目,取得高分。而大学的数学分析课程并非如此,要想学好这门课程,学生不仅要具备扎实的中学数学知识,也要有较强的逻辑思维能力,学习不能浮于表面,要深入研究每一个知识点,如此方能解决非常复杂的数学问题,这对很多学生的能力提出了挑战。不仅如此,数学分析的学习内容也涉及到很多高中没有接触过的知识点,比如反三角函数的概念、导数积分的求解、积化和差等公式,这些全新的知识内容也让很多学生感到吃力。

  3.学生学习方法不合理

  学生的学习方法不合理是数学分析课程教学中存在的主要问题。首先,有些学生对数学没有太大的学习兴趣,在选择专业志愿时非常盲目或者接受了调剂,从而才选择了数学专业,没有了高中教师严厉的教学约束,学生们不能很好的进入学习状态,也不愿意安排过多的时间来学习难度较高的数学分析课程。其次,学生在学习数学分析时,仍然习惯于高中的学习方式,听教师讲学多于自身去探索知识,学习时也经常把重点放在对公式的死记硬背上,而不知道其推导过程,不明白数学方法的根本原理,这就导致学生不能灵活运用各种数学工具,不能解决更加复杂的数学问题。最后,由于课时压缩,学生在课堂上没有多余的时间复习所学内容,而在课后又不愿意付出更多的精力来理解和巩固所学知识点,达不到预期的学习效果。

  二、数学分析课程教学的优化策略

  1.引导学生适应和掌握有效的学习方式

  在正式讲课之前,教师要告诉学生数学分析这门课程的重要性及课程特点,从而帮助学生转变高中固有的学习方式,提高学习效率。例如,大学的课程多但课时少,教师的讲课速度会快一些,教师要时刻注意学生的一举一动,提醒他们紧跟教师的讲课思路,学会独立思考;课下,教师要督促学生主动预习功课并复习当日所学内容,指正学生的作业问题,如格式的不规范、推导步骤的不完善等等,只有这样学生才能真正认识到自身的不足,时刻保持学习的动力,努力将知识融会贯通,有所收获。

  2.改善教学方法,提高教学质量

  为增加学生的学习兴趣,提高教学质量,教师要改善教学方法。教学活动是以教师和学生为主体的,过去的“接受式”教育已经不再适用了,因为不利于创新型人才的培养。在整个教学过程中,教师要循序渐进,从详细讲解到慢慢引导,再到让学生进行独立思考,从而促使学生学习理论知识、学会使用基本的数学工具,不断提高自己的自主学习能力。例如,在学习微积分时,教师可以先讲解微积分的基本概念和特点,再引导学生观察积分图像,学习微积分的规律,深入探究这一知识领域,在学生掌握基本原理之后,让其利用微积分来解决一些问题,思考微积分的应用给我们的生活所带来的便利。

  3.强化数学分析与高中数学的衔接

  教师在教学过程中,要将讲课的重点放在学生没有学过或者不易学懂的知识内容上,要多和学生交流,根据学生的需求来安排每一章内容的课时,从而强化数学分析与高中数学的衔接,让学生更能深入浅出地理解所学的知识。比如,教师在讲解反三角函数的概念时,可以先大概讲解一下三角函数,唤起学生关于这部分知识内容的回忆,在三角函数的基础上再进一步讲解新的内容——反三角函数。另外,教师也可以带领学生用数学分析中学到的数学工具去解决高中的数学问题,这不仅可以加深学生的记忆,,也可以让他们更能理解数学工具的本质,从而锻炼其逻辑思维能力。

  4.根据学生差异进行因材施教

  教师要根据学生的差异因材施教,不同的学生有不同的知识基础和理解能力,只是一味的灌输而不结合实际情况进行教学是达不到教学目的的。对于基础较好的班级,教师可以适当加快讲课速度,在已经完成教学目标的基础上讲解更多的课外知识,对某一知识点进行深入的探讨和研究,从而达到发散学生思维、提高学习能力的目的;对于基础较差的班级,教师要适当放慢讲课速度,在讲解时拿出更多的时间帮助其巩固基础知识,要时常与学生进行交流,确保他们可以很好的吸收新的知识,克服学习中遇到的难点。只有这样,才能使得更多的学生找到最适合自己的学习方法,达到最好的学习效果。

  三、运用多样化的教学方法

  1.发现式教学方法

  发现式教学方法主要适用于概念性的数学知识教学,其主要方式是由教师抛出明确的数学问题或者有趣的数学故事,激起学生深入探讨和研究的兴趣。在这个过程中,学生可以加深对客观事物的印象,发现事物本质与表面之间的相互联系,寻找内在的数学规律,亲身体验整个“发现”的过程,进而更深刻地理解数学概念。

  发现式教学方法的重点和难点在于如何将课本上已知的数学概念与实际相互联系,以及如何将较难理解的数学概念转化成相对简单的数学问题。教师在教学时,不能一味地参照课本而按部就班地进行新知识的灌输,而是要有意识地对学生进行积极引导,使之可以通过现象观察本质,知道概念的形成过程和背景,只有这样学生才能经历一个思维发现和创新的过程,进而体会所蕴含的数学思想。在数学分析中有很多重要概念,如傅里叶级数、函数的连续性、数列的极限等,这些概念本身都是由实际生活中的数学问题所得出来的,学生要理解这些概念,就要从实际生活入手展开深入讨论。例如,在学习定积分这一内容时,教师可以重点讲解曲边梯形的分割与面积,使学生通过研究曲边梯形并经抽象思考而得出定积分的概念;再比如,在学习数列极限这一知识点时,教师可以列举出具体的数列,使学生通过独立的演算和推导理解极限的真正定义。

  2.探究式教学方法

  在讲解数学分析中的性质、规律等理论内容时,教师可以采用探究式的教学方法。在实际教学中,学生普遍认为数学分析这一课程的难度较高,主要原因之一就是学生不能真正理解某些复杂定理的性质和规律,并且选择了死记硬背的学习方法,在解题时常常将重要的性质或规律混淆,从而造成错误的解题思路。面对这一困境,教师可以根据教学内容,设置或者改变一些问题的前提条件,让学生自主归纳性质或规律,从而引发其大胆的猜测与推理,解决其思维困惑。

  比如,在积分中值定理中规定:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,则在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ,使f(x)dx=f(ξ)(b-a)(a≤ξ≤b)成立。此定理存在多个限制条件,学生不易记忆,教师可以在讲解时改变限制条件:若函数f(x)在开区间(a, b)上连续,定理是否仍成立?若函数f(x)在闭区间[a, b]上不连续,定理是否仍成立?通过条件与问题之间的类比,可以提高学生的创新能力与探究能力,从而真正理解并记忆定理,更好地用定理解决数学问题。这种方法也适用于微分中值定理、傅里叶级数等教学内容。

  3.自主讨论式教学方法

  数学分析课程的重点是定理和性质的具体应用,因此学生的最终学习目标是使用数学工具解决数学问题。自主讨论式教学方法要求教师在完成课程理论内容讲解后,组织学生进行课堂讨论和习题练习,调动学生的参与积极性,这样不仅可以提高学生的自主学习意识,也可以使学生灵活运用所学知识,拓展思维,提高创新能力。

  有些学生在学习数学分析课程时很难走出思维定式,因此教师要鼓励学生积极参与课堂讨论,踊跃发言,相互交流,从多个角度思考问题,用多种方法解决问题。例如,在学习三重积分的内容时,教师可以提出一个例题,要求学生独立解答并进行讨论,这样就不难发现积分问题的解题思路有很多种,如“阴影法”、“截面法”、“高斯公式的应用”等;在学习极限的内容时,教师可以让学生总结归纳函数求解极限所适用的方法,如“定义法”、“利用四则运算法则”、“约去零因式”、“通分法”“利用无穷小量与无穷大量的关系”等。总之,只有通过充分讨论,学生才能了解到更为全面的解题方案,从而可以在解答不同题型的数学问题时从中选择最优的一种。

  4.活用数学建模思想

  (1)运用前提

  数学建模思想运用的前提是以课本基本结构和实际教学需求为基础。一般而言,传统数学分析教材注重知识内容的编排,而忽视了数学逻辑思维的展开過程,因此学生在学习这一课程时更多地接触到数学分析的复杂结论,却并不了解其中的深刻原理,从而觉得课程枯燥无味,产生了厌学情绪。作为教师,应根据社会的实际需求和学生的学习能力重新对课本进行编排,删减不重要的章节,增加补充的知识内容,从而使课程安排更适合于学生学习,收到最高的学习效率。其中,数学建模思想的运用是极为重要的,教师通过增加实例练习,加深学生对模型结构和原理的理解,从而达到思想启发的教学目的。

  在具体的教学过程中,应当注意以下问题:第一,数学建模的应用在数学分析教学中起辅助作用,其最终目的是使学生更好地学习数学分析,因此建立的模型不应自成体系,而应作为学习工具渗入到数学分析课程中的概念、定理中,使学生通过简单明了的模型更好地理解和运用所学知识。第二,数学建模不应成为学生学习的新难点,即所选择的数学模型应符合学生的学习能力,内容不应过于冗长、繁琐甚至超出了学生学习的知识范畴,盲目使用数学建模不仅不会降低学生的学习难度,反而还会使学生更加混乱,增加学生的学习负担。

  (2)运用时机

  数学建模思想的运用时机十分关键。能将所学知识与实际经验相结合的学习才是最有效果的,因此在合适的时机建立数学模型可以不打乱学生的学习思维,从浅入深,最大程度地调动学生的学习积极性。

  在提出一系列概念、引入新的定理和方法时,插入数学模型的效果是最好的。以“无穷级数”这一知识点为例,教师借助数学家提出的“追龟悖论”而提出了无限项数求和的数学问题,学生可以利用已经学过的“极限”的概念,将有限项数求和转化为无限项数求和,从而解决这一数学问题。此时可以建立新的数学模型来解释:因为乌龟在无限次追赶中爬行距离为一个有限数,因此就反驳了数学家的悖论。

  (3)运用方法

  数学建模思想的运用方法有很多,可以在概念、定理证明和习题课等多个教学阶段建立数学模型。

  在概念教学中引入数学建模思想是一种很好的途径,这是因为数学分析课程中的导数、微分、级数等众多概念的本质都是由客观事物的空间或者数量关系抽象得到的数学模型。在概念教学过程中,教师提出适当的数学问题,设置相关的条件和背景,引导学生积极参与讨论与研究,数学模型就很自然地被建立起来。例如,在讲解导数概念时,引入曲线某一点切线斜率模型和变速直线运动瞬间速度模型,理解其共同本质,归为同一个数学模型,即得到导数的基本概念,即当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在定理证明教学中,学生可以将定理的条件视为模型建立所需的背景,通过已知的背景条件来探究而得到的模型即为定理的结论,在这个过程中,学生不仅掌握了定理证明的基本知识,也培养了自身的创新意识和探究能力,有很大的启发价值。而在习题课教学中,数学建模思想的运用方法主要体现在教师将课本的客观问题转化为实际生活中可能面临的问题,让学生利用所学知识去解决并进行充分的讨论。这样的方法虽然比直接讲解习题费时费力,但可以提高学生的实际操作能力,让学生体会到学习数学分析课程的重要性和必要性。

  四、结语

  数学分析课程教学中,仍然存在学生基础较差、课程衔接不科学、学生学习方法不合理等诸多问题,教师应根据学生差异进行因材施教,改善教学方法,强化数学分析与高中数学的衔接,引导学生适应和掌握有效的学习方式,与此同时,要根据学生不同的学习阶段,灵活使用发现式、探讨式和自主讨论式的教学方法,活用数学建模思想,从而提高教学质量,让更多的学生喜爱数学分析这门课程,并从学习中有所收获,不断提高学习能力。

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